KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

• Chữ số tận cùng của 1 tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.
• Chữ số tận cùng của 1 tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.
• Tổng 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 9 có chữ số tận cùng bằng 5.
• Tích 1 x 3 x 5 x 7 x 9 có chữ số tận cùng bằng 5.
• Tích a x a không thể có tận cùng bằng 2, 3, 7 hoặc 8.
• Tổng các số chẵn là một số chẵn.
• Tổng chẵn số lẻ là một số chẵn, tổng lẻ số lẻ là một số lẻ.
• Hiệu hai số chẵn là 1 số chẵn, hiệu hai số lẻ là 1 số chẵn.
• Hiệu giữa số chẵn và số lẻ (hoặc số lẻ và số chẵn) là 1 số lẻ.
• Tích các thừa số lẻ là 1 số lẻ, tích các thừa số trong đó có 1 thừa số chẵn sẽ là số chẵn.

BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1:
a) Nếu tổng của 2 số tự nhiên là 1 số lẻ, thì tích của chúng có thể là 1 số lẻ được không?
b) Nếu tích của 2 số tự nhiên là 1 số lẻ, thì tổng của chúng có thể là 1 số lẻ được không?
c) "Tổng" và "hiệu" hai số tự nhiên có thể là số chẵn, và số kia là lẻ được không?

Giải:
a) Tổng hai số tự nhiên là một số lẻ, như vậy tổng đó gồm 1 số chẵn và 1 số lẻ, do đó tích của chúng phải là 1 số chẵn (Không thể là một số lẻ được).

b) Tích hai số tự nhiên là 1 số lẻ, như vậy tích đó gồm 2 thừa số đều là số lẻ, do đó tổng của chúng phải là 1 số chẵn (Không thể là một số lẻ được).

c) Lấy "Tổng" cộng với "Hiệu" ta được 2 lần số lớn, tức là được 1 số chẵn. Vậy "tổng" và "hiệu" phải là 2 số cùng chẵn hoặc cùng lẻ (Không thể 1 số lẻ, 1 số chẵn).

Bài 2:
Không cần làm tính, kiểm tra kết quả của phép tính sau đây đúng hay sai?

a, 1783 + 9789 + 375 + 8001 + 2797 = 22744
b, 1872 + 786 + 3748 + 3718 = 10115
c, 5674 x 163 = 610783

Giải:
a, Kết quả trên là sai vì tổng của 5 số lẻ là 1 số lẻ.
b, Kết quả trên là sai vì tổng của các số chẵn là 1 số chẵn.

c, Kết quả trên là sai vì tích của 1 số chẵn với bất kỳ 1 số nào cũng là một số chẵn.

Bài 3:
Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 24 024

Giải:
Ta thấy trong 4 số tự nhiên liên tiếp thì không có thừa số nào có chữ số tận cùng là 0; 5 vì như thế thì tích sẽ tận cùng là chữ số 0 (trái với bài toán).
Do đó 4 số phải tìm chỉ có thể có chữ số tận cùng liên tiếp là 1, 2, 3, 4 và 6, 7, 8, 9

Ta có:
24 024 > 10 000 = 10 × 10 × 10 × 10
24 024 < 160 000 = 20 × 20 × 20 × 20

Nên tích của 4 số đó là:

11 × 12 × 13 × 14 hoặc
16 × 17 × 18 × 19


Có: 11 × 12 × 13 × 14 = 24 024
16 × 17 × 18 × 19 = 93 024

Vậy 4 số phải tìm là: 11, 12, 13, 14

Bài 4:
Có thể tìm được 2 số tự nhiên sao cho hiệu của chúng nhân với 18 được 1989 không?

Giải:
Ta thấy số nào nhân với số chẵn thì tích cũng là 1 số chẵn. 18 là số chẵn mà 1989 là số lẻ.
Vì vậy không thể tìm được 2 số tự nhiên mà hiệu của chúng nhân với 18 được 1989.

Bài 5:
Có thể tìm được 1 số tự nhiên nào đó nhân với chính nó rồi trừ đi 2 hay 3 hay 7, 8 lại được 1 số tròn chục hay không?

Giải:
Số trừ đi 2, 3 hay 7, 8 là số tròn chục thì phải có chữ số tận cùng là 2, 3 hay 7 hoặc 8.
Mà các số tự nhiên nhân với chính nó không có các chữ số tận cùng là 2, 3 hay 7 hoặc 8.
Do vậy không thể tìm được số tự nhiên như thế.

Bài 6:
Có số tự nhiên nào nhân với chính nó được kết quả là một số viết bởi 6 chữ số 1 không?

Giải:
Gọi số phải tìm là A (A > 0).
Ta có: A × A = 111 111

Vì 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 chia hết cho 3 nên 111 111 chia hết cho 3.
Do vậy A chia hết cho 3, mà A chia hết cho 3 nên A × A chia hết cho 9 nhưng 111 111 không chia hết cho 9.
Vậy không có số nào như thế.

Bài 7:
a, Số 1990 có thể là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp được không?

Giải:
Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3 vì trong 3 số đó luôn có 1 số chia hết cho 3 nên 1990 không là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp vì:
1 + 9 + 9 + 0 = 19 không chia hết cho 3.

b, Số 1995 có thể là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp không?

Giải:
3 số tự nhiên liên tiếp thì bao giờ cũng có 1 số chẵn vì vậy mà tích của chúng là 1 số chẵn mà 1995 là 1 số lẻ do vậy không phải là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp.

c, Số 1993 có phải là tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp không?

Giải:
Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp thì sẽ bằng 3 lần số ở giữa do đó số này phải chia hết cho 3.
Mà 1993 = 1 + 9 + 9 + 3 = 22 Không chia hết cho 3.
Nên số 1993 không là tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp.

Bài 8:
Tính 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × ... × 48 × 49 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?

Giải:
Trong tích đó có các thừa số chia hết cho 5 là:
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.

Hay 5 = 1 × 5; 10 = 2 × 5; 15 = 3 × 5; ...; 45 = 9 × 5.

Mỗi thừa số 5 nhân với 1 số chẵn cho ta 1 số tròn chục. Mà tích trên có 10 thừa số 5 nên tích tận cùng bằng 10 chữ số 0.

Bài 9:
Bạn Toàn tính tổng các số chẵn trong phạm vi từ 20 đến 98 được 2025. Không thực hiện tính tổng em cho biết Toàn tính đúng hay sai?

Giải:
Tổng các số chẵn là 1 số chẵn, kết quả Toàn tính được 2025 là số lẻ do vậy Toàn đã tính sai.


Bài 10:
Tùng tính tổng của các số lẻ từ 21 đến 99 được 2025. Không tính tổng đó em cho biết Tùng tính đúng hay sai?

Giải:
Từ 1 đến 99 có 50 số lẻ.
Mà từ 1 đến 19 có 10 số lẻ. Do vậy Tùng tính tổng của số lượng các số lẻ sẽ là: 50 – 10 = 40 (số).
Ta đã biết tổng của số lượng chẵn các số lẻ là 1 số chẵn mà 2025 là số lẻ nên Tùng đã tính sai.

Bài 11:
Tích sau tận cùng bằng mấy chữ số 0?
20 × 21 × 22 × 23 × ... × 28 × 29

Giải:
Tích trên có 1 số tròn chục là 20 nên tích tận cùng bằng 1 chữ số 0.
Ta lại có 25 = 5 × 5 nên 2 thừa số 5 này khi nhân với 2 số chẵn cho tích tận cùng bằng 2 chữ số 0.
Vậy tích trên tận cùng bằng 3 chữ số 0.

Bài 12:
Tiến làm phép chia 1935 : 9 được thương là 216 và không còn dư. Không thực hiện chia cho biết Tiến làm đúng hay sai.

Giải:
Vì 1935 và 9 đều lẻ số, hiệu thương giữa 2 số lẻ là 1 số lẻ. Thương Tiến tìm được là 216 là số chẵn nên sai.

Bài 13:
Huệ tính tích:

2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29 × 31 × 37 = 3 999

Không tính tích em cho biết Huệ tính đúng hay sai?

Giải:
Trong tích trên có 1 thừa số là 5 và 1 thừa số chẵn nên tích tận cùng phải bằng chữ số 0. Vì vậy Huệ đã tính sai.

Bài 14:
Tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0:
13 × 14 × 15 × ... × 22

Giải:
Trong tích trên có thừa số 20 là số tròn chục nên tích tận cùng bằng 1 chữ số 0. Thừa số 15 khi nhân với 1 số chẵn cho ta thêm 1 chữ số 0 nữa ở tích.
Vậy tích trên có 2 chữ số 0.

✦ Kiến thức cơ bản

1.Chữ số tận cùng là các chữ số khác 0

Chữ số tận cùng của tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.

• Ví dụ:
  • Tích một số có chữ số tận cùng là 5 với một số lẻ có tận cùng là 5.
    VD: 3 × 5 × 7 × 9 = ...5
  • Tích hai số có chữ số tận cùng là các số tự nhiên liên tiếp chỉ có thể cho kết quả có các chữ số tận cùng là: 0, 2 hoặc 6.
    VD: 24 × 45 = ...0
    11 × 32 = ...2
    47 × 98 = ...6
  • Tích của 4 thừa số 3 (3 × 3 × 3 × 3) có tận cùng là 1.
  • Tích của 4 thừa số 2 (2 × 2 × 2 × 2) có tận cùng là 6.
  • Tích của 4 thừa số 7 (7 × 7 × 7 × 7) có tận cùng là 1.
  • Tích các số có tận cùng là 1 có tận cùng là 1.
    VD: 61 × 71 × 81 × ... × 211 = ...1
  • Tích của tất cả các số có tận cùng là 6 có tận cùng là 6.
    VD: 6 × 6 × 6 × 6 × ... × 6 = ...6

2.Chữ số tận cùng là các chữ số 0

• Tích một số có chữ số tận cùng là 5 với một số chẵn có tận cùng là 0.
• Khi nhân một số (khác số tròn chục, tròn trăm...) với các số tròn chục 10; 20; 30; 40; 60; 70; 80; 90 ta được tích là số có tận cùng là một chữ số 0.
• Các số 5; 15; 35; 45; 55; 65; 85; 95; 105; 115; 135; 145; 165;... khi nhân với một số chẵn ta được tích là số có tận cùng là một chữ số 0.
• Các số 25; 50; 75 khi nhân với một số chia hết cho 4 ta được tích là số có tận cùng là hai chữ số 0.
• Ví dụ:
  • 5 × 5 × 2
  • 75 = 5 × 5 × 3
  • 75 × 76 × 77 × 78 = ...00
• Tích của hai số có chữ số tận cùng giống nhau chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6 hoặc 9 (không thể tận cùng bằng 2; 3; 7 hoặc 8).

Bài tập vận dụng

Ví dụ 1:
a) Cho A = 3 × 3 × 3 × 3 × ... × 3 (tích này có 2013 chữ số 3). Hỏi tích này tận cùng là chữ số nào?

Giải:
Ta thấy: 3 × 3 × 3 × 3 = 81, tích của 4 chữ số 3 cho chữ số tận cùng bằng chữ số 1.

Vì 2013 : 4 được thương là 503 (chữ số 1) và dư 1 (1 chữ số 3).

Vậy tích A có chữ số tận cùng là 3.

b) Cho B = 7x7x7x...x7 (có 2014 chữ số 7). Hỏi tích này tận cùng là chữ số nào?
Ta thấy: 7x7x7x7 = ...1. Tích của 4 chữ số 7 có chữ số tận cùng là 1.
Vì 2014 : 4 = 503 (chữ số 1) và dư 2 (chữ số 7).
Vậy tích B có chữ số tận cùng là 9.

Ví dụ 2: Tích sau tận cùng bằng chữ số nào?
8 x 18 x 28 x 38 x .......... x 198.

Giải
Số các thừa số của dãy là:
(198 - 8):10 + 1 = 20 (thừa số).

Cứ 4 thừa số có tận cùng là chữ số 8 nhân với nhau thì tạo thành một số có tận cùng là chữ số 6.
Ta có: 20 : 4 = 5 (chữ số 6).
Vậy tích trên có tận cùng là chữ số 6.

Giải:
Số thừa số của tích này là: (198 – 8):10 + 1 = 20 (số hạng) (1).
Ta thấy cứ 4 thừa số có tận cùng là 8 có tận cùng là 6. Vì có 20 thừa số ta kết hợp được 5 nhóm mỗi nhóm có 4 thừa số, tích mỗi nhóm này có chữ số tận cùng là 6. Vậy kết quả của tích trên có chữ số tận cùng là 6.

Ví dụ 3: Tìm chữ số tận cùng của tích sau:
15 x 17 x 19 x 21 x 23 x 25 x 27 x 29 x ............ x 2011 x 2013.

Giải
Vì tích một số có chữ số tận cùng là 5 với một số lẻ có tận cùng là 5 nên tích trên có tận cùng là chữ số 5.
Gợi ý: Áp dụng lí thuyết ta có kết quả chữ số tận cùng là 5.

Ví dụ 4: Cho X = A - B, biết:
A = 3 x 13 x 23 x ....... x 2003 x 2013
B = 2 x 12 x 22 x ....... x 2002 x 2012
Hỏi X có chia hết cho 5 không?

Giải:
A có số các thừa số lẻ: 202 số.
B có số các thừa số chẵn: 202 số.

Ta thấy tích của 4 thừa số tận cùng là 3 sẽ có chữ số tận cùng là 1.
Vì 202 : 4 có thương là 50 dư 2 nên A là tích của 50 nhóm (mỗi nhóm có 4 thừa số tận cùng là 3) với 2 thừa số tận cùng là 3. Vì thế A có tận cùng là 9.

Tương tự như trên: Tích của 4 thừa số có chữ số tận cùng là 2 có tận cùng là 6.
Vì 202 : 4 được thương là 50 dư 2 nên B là tích của 50 nhóm (mỗi nhóm có 4 thừa số có chữ số tận cùng là 2) với 2 thừa số có chữ số tận cùng là 2. Vì thế B tận cùng là 4.

Vậy X có tận cùng là 5 vì 9 – 4 = 5 nên X chia hết cho 5.

Ví dụ 5: Cho
A = 2012 x 2012 x 2012 x ........ x 2012 x 2012 (2013 thừa số 2012)
B = 2013 x 2013 x 2013 x ........ x 2013 x 2013 (2012 thừa số 2013)
Hỏi A + B chia cho 5 có số dư là bao nhiêu?

Gợi ý: Làm tương tự bài trên sẽ có A + B có chữ số tận cùng là 3.

Ví dụ 6: Cho H = 1234567891011121314151617........ được viết bởi các số tự nhiên liên tiếp và có 121 chữ số. Số H có chữ số tận cùng là chữ số nào?

Giải:
Ta có từ 1 đến 9 có 9 số, mỗi số gồm 1 chữ số.
Từ 10 đến 99 có 90 số, mỗi số gồm 2 chữ số nên khi viết chúng liên tiếp ta có 90 x 2 = 180 (chữ số).

Mà 9 < 121 < 189 nên chữ số tận cùng của H phải ở số có hai chữ số.
Số chữ số của các số có 2 chữ số viết ở H là: 121 – 9 = 112 (chữ số).
Số các số có 2 chữ số viết ở H là 112 : 2 = 56.
Số thứ 56 kể từ 10 có 2 chữ số là: 10 + 1 x (56 – 1) = 65.
Vậy chữ số tận cùng của H là chữ số 5 (là chữ số hàng đơn vị của số 65).

Ví dụ 7: Cho M = 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x ........ x 89.
Hỏi M có tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?

Giải:
Tích có các thừa số: 5; 15; 35; 45; 55; 65; 85 khi nhân với một số chẵn có tận cùng là một chữ số 0. Vậy có 7 chữ số 0.
Tích có các số tròn chục là: 10; 20; 30; 40; 60; 70; 80. Do đó có 7 chữ số 0 tận cùng.
Tích có các thừa số: 25; 50; 75 khi nhân mỗi thừa số với một số chia hết cho 4 có tận cùng là 2 chữ số 0. Do đó có tận cùng là 6 chữ số 0.
Vậy M có số chữ số 0 tận cùng là: 7 + 7 + 6 = 20 (chữ số).

Ví dụ 8: Tích 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ..... x 45 x 46 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Kết quả: Tích tận cùng có 10 chữ số 0.

Ví dụ 9: Tích: 4 x 11 x 15 x 6 x 17 x 25 x 45 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Kết quả: Tích có 3 chữ số 0 tận cùng.

Ví dụ 10: Tích 5 x 6 x 11 x 17 x ........ x 118 x 191 có hai chữ số tận cùng là những chữ số nào?
Tích: 5x6x11x17x28x45x.....x118x191
Ta có: 5 = 5x1, 45 = 5 x 9

Vì 5 nhân với số chẵn nào cũng tạo thành số có tận cùng là chữ số 0
nên tích trên có tận cùng là 2 chữ số 0.

Kết quả: Tích có hai chữ số tận là 00.

Ví dụ 11: Cho N = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ........ x 30 x 31. Hỏi tổng của 6 chữ số tận cùng của N là bao nhiêu?
Kết quả: 0.

Ví dụ 12: Cho P = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ........ x 2012 x 2013 x 2014. Gạch bỏ các thừa số chia hết cho 5 ta được Q. Hỏi chữ số tận cùng của Q.

Giải:
Từ 1 đến 2014 có 2014 số hạng.
Số các số hạng chia hết cho 5 là: (2010:5) + 1 = 402 (số hạng).
Số các số hạng của Q là: 2014 – 402 = 1612 (số hạng).
Ta có: 1612 : 4 = 403 số có tận cùng là chữ số 4.
Cứ 2 thừa số có tận cùng là chữ số 4 nhân với nhau thì được có tận cùng là chữ số 6.
Ta có: 403 : 2 = 201 (chữ số 6) dư 1 (chữ số 4).
Vậy....
P là tích có số thừa số là: (2014 – 1) : 1 + 1 = 2014 (số hạng).
Trong đó, số thừa số chia hết cho 5 là: (2010 – 5) : 5 + 1 = 402 (số hạng).
Q là tích có số thừa số là: 2014 – 402 = 1612 (số hạng) (1).
Ta thấy tích của 4 thừa số liên tiếp trong Q có chữ số tận cùng là 4.
Chia thành các nhóm có tích mà chữ số tận cùng là 4 ta có số nhóm là: 1612 : 4 = 403.
Tích của tất cả các thừa số của hai nhóm là tích của hai số có tận cùng là 4 nên được kết quả có tận cùng là 6.
Vì vậy: 403 : 2 được thương là 201 và dư 1 nên Q tận cùng là chữ số 4.

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của:

S = 1x2 + 3x4 + 5x6 + 7x8 + 9x10 + 11x12 + ..... + 2011x2012

Giải: Ở bài này, chúng ta thấy chữ số tận cùng của các số có quy luật lặp lại, 1,2,3....10 rồi quay lại 1,2,...

Nếu ta tách:

S = (1x2 + 3x4 + 5x6 + 7x8 + 9x10)

(11x12 + 13x14 + 15x16 + 17x18 + 19x20)

....

(2001x2002 + 2003x2004 + 2005x2006 + 2007x2008 + 2009x2010)

2011x2012

Nhìn vào cách tách trên ta thấy, mỗi nhóm là tổng của 5 tích, và mỗi nhóm này sẽ có chữ số tận cùng giống nhau (đều là 0).

Nếu chữ số tận cùng là 0, thực ra ta không cần tìm số nhóm nữa, (vì 0 nhân bao nhiêu cũng tận cùng là 0). Tuy nhiên để tri tìm số nhóm xem được bao nhiêu nhóm Hãy chú ý số cuối cùng của mỗi nhóm (phần bôi đậm). Ta có khoảng cách là 10:

Số nhóm là (2010-10):10+1 = 201 nhóm.

Lẻ ra 1 thừa số, 2011x2012 tận cùng là 2, tổng của 201 nhóm tận cùng là 0 => S tận cùng là 2.

Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của

S = 1x3 + 3x5 + 5x7 + 7x9 + 9x11 + 11x13 + ... + 2011x2013

Giải

Chia S thành các nhóm:

S = (1x3 + 3x5 + 5x7 + 7x9 + 9x11)

(11x13 + 13x15 + 15x17 + 17x19 + 19x21)

....

(2001x2003 + 2003x2005 + 2005x2007 + 2007x2009 + 2009x2011)

2011x2013

Mỗi nhóm có chữ số tận cùng là 5.

Số nhóm là: (2011 – 11): 10 + 1 = 201 (nhóm)

Lẻ ra 1 thừa số, 2011x2013 có chữ số tận cùng là 3 cộng với 201 nhóm có tận cùng là chữ số 5 thì tổng S có chữ số tận cùng là 8.

Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của

S = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + 5x6 + ...... + 2011x2012 + 2012x2013

Chia S thành các nhóm
S = (1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + 5x6 + 6x7 + 7x8 + 8x9 + 9x10 + 10x11)
(11x12 + 12x13 + 13x14 + 14x15 + 15x16 + 16x17 + 17x18 + 18x19 + 19x20 + 20x21)
...
(2001x2002 + 2002x2003 + ... + 2010x2011)
(2011x2012 + 2012x2013)
Mỗi nhóm có chữ số tận cùng là 0.
Số nhóm là: (2011 – 11) : 10 + 1 = 201 (nhóm).
Lẻ ra 2 thừa số, 2011x2012 + 2012x2013 có chữ số tận cùng là 8 cộng với 201 nhóm có tận cùng là chữ số 0 thì tổng S có chữ số tận cùng là 8.

Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của:
S = 1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + 1x2x3x4x5 + 1x2x3x4x5x6 + ... + 1x2x3...x2013
Giải:
Tích của 5 và 1 số chẵn tận cùng là 0. Như vậy từ tích 1x2x3x4x5 trở đi đều có chứa 2 và 5 nên tích tận cùng là 0. Tổng từ số thứ 5 trở đi tận cùng là 0.
S có tận cùng chính là tận cùng của 4 số đầu: 1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 tận cùng là 3.